Grenoble, Lyon et Saint-Etienne (France)

Journée 6

Programme de la Journée 6

 

- 10h35-11h25,    Harald Helfgott (ENS Paris) : Comment trouver des nombres premiers (de façon déterministe)

    Soit N grand. Comment peut-on trouver un nombre premier entre N et 2N ? Comme les nombres premiers sont assez denses, et comme on peut vérifier la primalité d'un nombre rapidement, donner un algorithme probabiliste pour trouver un nombre premier rapidement est une tâche très facile. Mais comment obtenir un algorithme déterministe ? Nous verrons qu'il existe un algorithme qui marche en temps O(N^{1/3+epsilon}) - si le nombre de nombres premiers entre N et 2N est impair, mais pas s'il est pair ! [Issu d'un projet Polymath [collaboration massive]. Les participants principaux étaient E. Croot, H. Helfgott et T. Tao.]


- 11h30-12h20,    Lenny Taelman (Université de Leiden) :  An analytic class number formula in positive characteristic

    Arithmetic over the integers (or in number fields) is in many ways similar to arithmetic with polynomials in one variable over a finite field (or in function fields). In 1935 Leonard Carlitz introduced a remarkable function field analogue of the usual logarithm. In this talk I will explain what this "Carlitz logarithm" is, and how it can be used to obtain a function field version of the analytic class number formula. Although the statement is surprisingly similar to the classical formula, the only proof I know is by very different, algebraic, methods. It is an interesting question if there is a more "analytic" proof along the lines of the classical proofs of the analytic class number formula.


- 15h00-15h50,    Michel Waldschmidt (Université Pierre et Marie Curie) : Familles d'équations de Thue-Mahler n'ayant que des solutions triviales

    Une équation de Thue est une équation Diophantienne de la forme f(x,y)=k, où f est une forme binaire à coefficients dans Z ayant au moins trois facteurs linéaires distincts dans C, k est un entier non nul fixé, tandis que les inconnues x et y sont dans Z. Mahler a étendu le théorème de Thue en considérant un ensemble fini S de nombres premiers, et en considérant les équations de la forme f(x,y)=z, où les inconnues sont (x,y,z), avec x et y sont des S entiers (c'est-à-dire des nombres rationnels dont le dénominateur n'a comme facteurs premiers que des éléments de S) et z est une S-unité (élément inversible de l'anneau des S-entiers, le numérateur et le dénominateur de z n'ont comme facteurs premiers que des éléments de S). Des familles d'équations de Thue ont été étudiées, mais ce n'était pas encore le cas pour des familles d'équations de Thue-Mahler. Dans un travail en commun avec Claude Levesque nous introduisons les premiers exemples.
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