Journée 4

Programme de la Journée 4

Le mercredi 17 mars 2010 en salle Fokko du Cloux de l'Institut Camille Jordan, à l'Université Lyon 1.

- 10h30-11h20,    Emmanuel Kowalski (ETH Zürich) : Facteurs premiers, permutations et polynômes : un autre regard sur le théorème d'Erdös-Kac

    Le théorème d'Erdös-Kac décrit la répartition limite normalisée du nombre de facteurs premier d'un entier. Récemment, avec A. Nikeghbali, nous avons interprété ce résultat du point de vue d'une approximation par une loi de Poisson. Cette approximation est non-standard du point de vue probabiliste, et révèle des analogies intéressantes avec les conjectures de Keating-Snaith sur les moments de la fonction zêta, des permutations aléatoires remplaçant les matrices aléatoires. Le cas des polynômes sur les corps finis, qui est mieux compris, renforce encore cette analogie.

- 11h35-12h25,    Daniel Bertrand (Université Paris 6) : De l'utilité pour les arithméticiens de fréquenter les théoriciens des modèles

    L'exposé se concentrera sur deux illustrations du titre, liées entre elles et à l'étude des variétés abéliennes sur un corps différentiel, à savoir :
    (i) comment un énoncé de forte minimalité de leur noyau de Manin, dû à Hrushovski-Sokolovic et Marker-Pillay, fournit une preuve rapide du théorème de Lindemann-Weierstrass fonctionnel ;
    (ii) comment un énoncé de o-minimalité (Pila-Wilkie) a fourni à Pila une preuve rapide de la conjecture de Manin-Mumford et de quelques extensions.

- 14h10-15h00,    Arnaud Durand (Université de Paris-Sud) : Ubiquité et approximation diophantienne

    Un des problèmes centraux de la théorie métrique de l'approximation diophantienne est de décrire la taille de l'ensemble des réels (ou des points dans le cas de R^d) qui sont approchés à une certaine vitesse par une famille dénombrable de points fixés au préalable (nombres rationnels, algébriques, etc.). Nous commencerons par rappeler les résultats classiques de cette théorie, qui décrivent la taille de tels ensembles à l'aide de la mesure de Lebesgue et, plus généralement, des mesures de Hausdorff. Nous expliquerons ensuite que ces ensembles vérifient une propriété remarquable qui vient de la théorie géométrique de la mesure : la propriété de grande intersection. Enfin, nous montrerons qu'une description exhaustive des propriétés de taille et de grande intersection de nombreux ensembles intervenant en approximation diophantienne peut se déduire de la seule connaissance de leur mesure de Lebesgue, à l'aide de techniques dites d'ubiquité ou de transfert de masse.

- 15h15-16h05,    Olivier Ramaré (CNRS et Université Lille 1) : Le crible de Selberg sur les nombres premiers : quelques avancées (plutôt !) récentes

    Dans cet exposé grand public, nous montrerons comment le crible de Selberg sur les nombres premiers permet de construire une majoration pour la fonction caractéristique des nombres premiers et nous parlerons de quelques applications spectaculaires.

Cette journée est organisée avec le soutien du projet ANR AlgoL.