Journée 25

Programme de la Journée 25
Mardi 2 avril 2019

Les exposés auront lieu en salle 04 de l'Institut Fourier le matin et dans l'amphi 01 de la tour IRMA l'après-midi.

10h-  Café devant la salle 04, au rdc de l'Institut Fourier

10h30-11h20, Paloma Bengoechea (Zürich), Periods of modular functions and diophantine approximation

  For a real quadratic irrationality w and the classical Klein's modular invariant j, the "value" j(w) has been recently defined using the period of j along the closed geodesic associated to w in the hyperbolic plane. Works of Duke, Imamoglu, Toth, and Masri establish analogies between these values and singular moduli when they are both gathered in traces. However, the arithmetic/algebraic properties of the individual values j(w) remain inaccessible. In this talk, we will address conjectures of Kaneko on bounds for these values as well as a specific behaviour of j on Markov quadratics. Our strategy consists in studying the values j(w) according to the diophantine properties of w. This is joint work with O. Imamoglu.

11h40-12h30, Cécile Dartyge (Nancy), Sur la complexité de familles d'ensembles pseudo-aléatoires

   Soient p un nombre premier, S un sous-ensemble de F_p de cardinal inférieur à p/2 et E(d) un ensemble de polynômes de degré inférieur à d où d est un entier supérieur à 2 donné. Quel est le plus grand entier k tel que pour tous sous-ensembles disjoints A, B de F_p dont l’union a k éléments, il existe un polynôme P dans E(d) vérifiant les contraintes suivantes : P(x) est dans S pour x dans A, P(x) est en dehors de S si x appartient à B ? Cet entier k correspond à la complexité de familles d'ensembles pseudo-aléatoires construites à partir des polynômes de E(d) et de l'ensemble cible S. Nous montrerons que cette complexité est bornée indépendamment de p dans le cas où S est un ensemble d'entiers consécutifs mais qu'elle est de taille très importante quand S est l'ensemble des inverses modulo p d'une suite d'entiers consécutifs. Nous présenterons également des résultats valables pour des ensembles S généraux tels que |S| et |F_p \ S| soient assez grands. Cet exposé est basé sur des travaux réalisés avec R. Balasubramanian, D. Gómez-Pérez, E. Mosaki et A. Sárközy.

12h30-  Buffet en salle de lecture au 2ème étage de l'Institut Fourier

14h-14h50, Eric Delaygue (Lyon), Transferts d'indépendance algébrique et congruences à la Lucas

   Récemment, avec Boris Adamczewski et Jason P. Bell, nous avons développé un critère d'indépendance algébrique pour des séries satisfaisant des congruences simples, dites p-Lucas, pour une infinité de nombres premiers p. De nombreuses séries issues de la Combinatoire, de nombreuses G-fonctions classiques satisfont  de telles équations. Dans ce travail, nous remarquons que la dérivée f' d'une telle fonction ne satisfait plus des congruences p-Lucas mais des congruences reliant f' à f. Je montrerai comment cette association nous permet  de transférer l'indépendance algébrique de G-fonctions à celle de leurs dérivées. Le même principe de transfert  sera aussi appliqué non pas aux dérivées mais à des q-déformations des séries initiales. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Boris Adamczewski, Jason P. Bell et Frédéric Jouhet.

15h10-16h, Yves André (Paris), A quoi sert la théorie de Galois différentielle (du point de vue d’un arithméticien) ?

   Cette théorie décrit en principe les relations algébriques entre solutions d’une équation différentielle linéaire et leurs dérivées. Toutefois, comme en théorie de Galois classique, elle n’est utile que si l’on connaît la théorie des groupes qui intervennent et si l’on dispose d’outils pour les calculer (dans le cas différentiel, il s’agit de groupes algébriques linéaires).
   Nous présenterons deux aspects de cette théorie, pertinents en théorie des nombres :
1. la correspondance de Galois différentielle généralisée aux algèbres de solutions (dûe au rapporteur, et récemment étendue par Nagy et Szamuely), qui permet entre autre de préciser les relations entre valeurs spéciales de E-fonctions ou de fonctions de Mahler (au-delà de la connaissance du degré de transcendance);
2. le cas des périodes dépendant d’un paramètre (telles les fonctions hypergéométriques), qui toutes sont solutions d’équations différentielles linéaires, dites de Picard-Fuchs. La combinaison de la théorie de Galois différentielle et de la théorie des motifs a permis à Ayoub de montrer que les relations algébriques qui les lient s’expliquent toutes par les propriétés formelles de l’intégration (ce qu’on attend aussi des nombres-périodes, d’après Kontsevich)

La Journée 25 a reçu une aide financière de la Fédération de Recherche Rhône-Alpes-Auvergne et du GDR EFI