Journée 5

Programme de la Journée 5

Le mercredi 6 octobre 2010 à l'Université de Saint-Etienne.

- 10h35-11h25,    David Masser (Université de Bâle) : Multiple mixing and short polynomials

    A module over a Laurent polynomial ring over the integers determines an algebraic action on a compact abelian group. We present a method of effectively finding all non-mixing sets of smallest cardinality in the basic case when the module is the quotient by a given prime ideal of the Laurent ring. This solves a problem of Klaus Schmidt, which is closely related to that of finding all shortest elements of the ideal. If the action is mixing and the quotient has positive characteristic, then a consequence is that there are only finitely many such non-mixing sets modulo a natural equivalence relation. All is joint work with Harm Derksen; the main tool is our effective version of Mordell-Lang in positive characteristic.

- 11h35-12h35,     Elisabeth Bouscaren (Université de Paris-Sud) : Théorie des modèles et applications à la géométrie diophantienne : une tentative d'introduction

    A travers des exemples d'applications de la théorie des modèles à la géométrie diophantienne, nous essaierons de présenter quelques notions essentielles de théorie des modèles. Nous insisterons sur les   théorèmes de dichotomie "abstraits" (principe de dichotomie de Zilber) coté théorie des modèles et leurs conséquences en termes de théorèmes de descente coté Géométrie. Pour introduire les notions de théorie des modèles, nous éviterons le formalisme général et nous placerons tout de suite dans le cadre spécifique de la théorie des modèles des corps en regardant les exemples classiques : corps algébriquement clos, corps différentiels, corps réels clos, etc.

- 14h00-14h50,    Arnaud Chadozeau (Institut de Mathématiques de Jussieu) : Structure des points rationnels autour d'une courbe

    On s'intéresse au nombre de points rationnels de hauteurs bornées dans un voisinage tubulaire d'une courbe du plan. Il s'agit d'un problème qui apparaît dans de nombreuses estimations de sommes exponentielles. On décrira plusieurs aspects structurels de l'ensemble de ces points rationnels, desquels on déduira une nouvelle majoration pour le nombre de ces points.

- 15h00-15h50,    Frédéric Paulin (Université de Paris-Sud) : Approximation diophantienne par orbites modulaires

    Soit par exemple K un corps de nombre quadratique imaginaire. Nous montrons plusieurs résultats d'approximation diophantienne de nombres complexes par des irrationnels quadratiques sur K contenus dans une orbite par homographies du groupe modulaire PSL_(2,O_K) donnée (comptage, théorèmes à la Khintchine, etc). Les méthodes utilisent des propriétés ergodiques du flot géodésique sur le quotient de l'espace hyperbolique réel de dimension trois par PSL_(2,O_K) (problèmes d'équidistribution et de cible évanescente,...) Il s'agit d'un travail en commun avec J. Parkkonen.