Journée 26

Programme de la Journée 26
Mardi 12 novembre 2019

Les exposés auront lieu en salle Fokko du Cloux au 1er étage du bâtiment Braconnier de l'ICJ. Les orateurs seront Gautami Bhowmik (Lille), Javier Fresan (Ecole polytechnique), Sébastien Gouëzel (Rennes) et Tuan Ngo Dac (Lyon).

10h30-11h20, Javier Fresan, E-fonctions et géométrie

   En 1929 Siegel a introduit deux classes remarquables de séries entières à coefficients algébriques satisfaisant à une équation différentielle à coefficients polynomiaux : les G-fonctions et les E-fonctions. Les périodes des familles à un paramètre de variétés algébriques sur un corps de nombres donnent lieu à une riche source d'exemples de G-fonctions « d'origine géométrique » ; d'après une conjecture de Bombieri-Dwork, elles le seraient toutes. Dans cet exposé, j'illustrerai sur des exemples ce que signifie, pour les E-fonctions, avoir origine géométrique et je spéculerai sur la question : toutes les E-fonctions proviennent-elles de la géométrie ? Il s'agit d'un travail en cours avec Peter Jossen.

11h40-12h30, Sébastien Gouëzel, Groupes de surfaces et marches aléatoires

   Compter le nombre de chemins fermés de longueur n issus de l'origine dans un groupe de surface (ou plus généralement la probabilité de retour au temps n d'une marche aléatoire dans un groupe de surface) est un problème combinatoire délicat. J'expliquerai comment une approche mêlant géométrie et probabilités permet de trouver des asymptotiques de ces quantités, en insistant sur les avantages et inconvénients respectifs des outils taubériens réels et complexes dans ce contexte.

12h30, Repas

14h00-14h50, Gautami Bhowmik, Les problèmes de Goldbach et les zéros de la fonctions zeta de Riemann

   Nous allons présenter un aperçu sur les moyennes du problème classique de Goldbach et sa variation dans les progressions arithmétiques. En particulier, nous expliciterons une équivalence entre l'hypothèse de Riemann et un résultat asymptotique de la fonction génératrice de Goldbach.

15h10-16h, Tuan Ngo Dac, Sur les valeurs spéciales de la fonction zêta en caractéristique positive

    Dans un premier temps, on se place sur la droite projective sur un corps fini. On présente quelques résultats remarquables sur les valeurs spéciales de la fonction zêta de Carlitz associées à cette courbe : relations de dépendance algébrique de ces valeurs (Anderson-Thakur 1990, Chang-Yu 2007), analogues de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer (Taelman 2012), identités inattendues entre des fonctions spéciales et des fonctions L (Pellarin 2012). Puis on introduit la notion clé des unités de Stark qui nous permet de d'étendre ces résultats à toutes les courbes projectives lisses. Il s'agit d'un projet de recherche en commun avec B. Anglès, F. Tavares Ribeiro et N. Green.