Journée 22

Programme de la Journée 22
  Jeudi 30 novembre 2017

Les exposés auront lieu à l'Institut Camille Jordan, en salle Fokko du Cloux.

10h-   Café en salle de lecture au premier étage de l'ICJ

10h30-11h20    Ariyan Javanpeykar (Mainz),    Finiteness results for smooth hypersurfaces over number fields

    There are only finitely many isomorphism classes of elliptic curves over Q with good reduction outside a fixed set of primes, as proven by Shafarevich. Faltings proved the corresponding more general statement for abelian varieties: for a number field K, integer g, and finite set of finite places S of K, there are only finitely many isomorphism classes of g-dimensional abelian varieties over K with good reduction outside S. We investigate the relation of this finiteness statement to the Lang's conjectures on integral points, and investigate the analogous problem for smooth hypersurfaces in a fixed projective space. This is joint work with Daniel Loughran.

11h30-12h20    Elise Goujard (Bordeaux),    Dynamique des billards polygonaux : aspects arithmétiques  (Exposé annulé)

    Certaines problèmes quantitatifs de dynamique dans les billards polygonaux se réduisent au calcul de volumes d'espaces de modules de surfaces plates. Un moyen d'évaluer ces volumes est de dénombrer des surfaces à petit carreaux de type fixé. Ce problème combinatoire fait apparaître plusieurs phénomènes artihmétiques intéressants (relations entre multizetas, quasimodularité des séries génératrices...) que je présenterai. Je décrirai plus précisément un résultat de quasimodularité relatif aux volumes et constantes de Siegel-Veech obtenu en collaboration avec Martin Möller.

12h30-    Repas.

14h10-15h00    Farrell Brumley (Villetaneuse),    Concentration et fonctorialité

    Les conjectures classiques de Ramanujan-Petersson et de Sato-Tate sur les coefficients de Fourier de formes modulaires, ou plus généralement sur les paramètres de Satake des représentations automorphes, sont, de nature, sensibles à des questions de fonctorialité. Par exemple, les coefficients des formes modulaires CM suivent une loi de répartition très différente de ceux des formes non-CM, et les premiers contre-exemples historiques de la généralisation naïve de la conjecture de Ramanujan se sont révélés parmi les relèvements de thêta sur le groupe Sp4. Un analogue plus récent de ces conjectures consiste à regarder les normes L^p des fonctions propres arithmétiques (p=\infty correspondrait à Ramanujan). Ces dernières sont des vecteurs dans des représentations automorphes, réalisées comme fonctions sur un espace localement symétrique de type congruence, la généralisation naturelle des courbes modulaires ou de Shimura. Leurs propriétés de concentration, en des points ou le long de certains cycles, sont d’un intérêt à la fois arithmétique et analytique. Je décrirai dans cet exposé quelques résultats récents sur ce sujet, obtenus en collaboration avec Simon Marshall, qui éclaircissent la structure du problème : les normes L^p d’une forme reflètent sa provenance fonctorielle, cette fois-ci dans un sens relatif. En particulier, dans un travail en cours, on montre l’existence de fonctions propres arithmétiques, définies sur des variétés hyperboliques et dans l’image de la correspondance de thêta de Sp4, qui se concentrent le long de géodésiques fermées.

15h10-16h00    François Brunault (ENS Lyon),    Mesures de Mahler de surfaces elliptiques modulaires

    La mesure de Mahler d'un polynôme P est définie comme la  moyenne géométrique de P sur le cercle unité. Cette définition se généralise de manière naturelle aux polynômes en plusieurs variables. Pour un polynôme en 2 variables définissant une courbe elliptique, Boyd a conjecturé que sous certaines conditions, la mesure de Mahler est reliée à la fonction L de la courbe elliptique. À l'heure actuelle, on ne sait démontrer ces relations que dans certains cas particuliers. Bertin a établi des identités similaires pour des polynômes en 3 variables définissant des surfaces K3. Dans cet exposé, j'expliquerai une nouvelle méthode pour calculer la mesure de Mahler d'un polynôme définissant une surface elliptique modulaire. Le calcul se base sur une extension de la méthode de Rogers-Zudilin pour les formes modulaires de poids 3. On retrouve de cette manière le résultat de Bertin, ainsi que plusieurs autres identités. Il s'agit d'un travail en commun avec Michael Neururer.