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Grenoble, Lyon et Saint-Etienne (France)
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Journée "0"Programme de la Journée "0" - 10h00 - 10h50, Francesco Amoroso (LMNO, Université de Caen) : Sur la mesure de Mahler d'un polynôme en plusieurs variables Soit F un polynôme irréductible à coefficients entiers en n variables. La hauteur de l'hypersurface F=0 de G_m^n a alors une expression analytique particulièrement simple : h(F=0)=log M(F), où M(F) est la mesure de Mahler du polynôme F. Supposons que le stabilisateur de cette hypersurface soit fini, c'est-à-dire que F ne provient pas d'un polynôme en moins de variable via une transformation monomiale. Qu'est-ce que l'on peut dire alors de la valeur de M(F) ? La conjecture de Lehmer classique impliquerait la minoration M(F)>C pour une certaine constante C>1. Nous montrerons que cette minoration est vraie (avec C=1/23) si le degré total D de F n'est pas trop grand par rapport à la dimension n de l'espace ambiant : D<3^(2^n).
Nous montrons que la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer pour une courbe elliptique implique un resultat dans la direction de la conjecture abc. La preuve utilise des minorations de formes lineaires de logarithmes elliptiques, desquelles nous deduisons de nouvelles bornes pour la hauteur des points S-entiers d'une courbe elliptique. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Vincent Bosser.
Cet exposé sera consacré à l'étude de nombres réels dont le développement dans une base entière est, en un certain sens, simple : les nombres réels de complexité sous-linéaire. Cette classe de nombres contient de nombreux exemples classiques et abondamment étudiés comme les nombres rationnels, les nombres lacunaires, les nombres automatiques et les nombres sturmiens. Il a longtemps été conjecturé qu'un tel nombre est soit rationnel, soit transcendant, mais cela n'a été démontré que récemment à l'aide d'une version p-adique du théorème du sous-espace de W. M. Schmidt. Nous expliquerons comment cette approche permet en fait d'étudier l'approximation des nombres réels de complexité sous-linéaire par des nombres algébriques de degré fixé.
Un théorème récent dans la thèse de Francis Brown constate que toute période sur un simplexe réel de M_{0,n} est une Q-combinaison linéaire des valeurs multizetas. Nous avons trouvé une méthode combinatoire de présenter formellement ces périodes comme des couples de n-polygones. Ces couples forment une algèbre pour le produit shuffle. Dans cet exposé, je définirai les multizetas et j’expliquerai comment les décrire comme des périodes. Ensuite, je définirai l’algèbre des polygones et j’introduirai les théorèmes que nous avons trouvé avec la méthode des polygones. Plus précisement, je décrirai certains groupes de cohomologie intéressants à base des couples des polygones. Il s'agit d'un travail en commun avec Francis Brown et Leila Schneps. |
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