Grenoble, Lyon et Saint-Etienne (France)

Journée 2

Programme de la Journée 2


- 10h40-11h30, Maria Carrizosa (Institut de Mathématiques de Jussieu, Université de Paris 7) : Petits points et multiplication complexe

Nous donnons une borne inférieure pour la hauteur canonique d'un point P dans une variété abélienne A/K avec des multiplications complexes en fonction du degré de P sur l'extension engendrée par les points de torsion de A. Cette borne est le meilleur résultat connu jusqu'à présent dans la direction de la conjecture de Lehmer relative abélienne. La borne donnée permet aussi de démontrer des cas particuliers de la conjecture de Zilber-Pink.

- 11h40-12h30, Alain Plagne (Ecole Polytechnique) : Bases de Sidon

Une base additive (asymptotique) est un ensemble d'entiers, disons A, qui engendre additivement l'ensemble de tous les entiers assez grands ; plus précisément, tel qu'il existe des entiers h et n tels que hA (l'ensemble des sommes de h éléments de A) contienne {n,n+1,n+2,...}. Le plus petit tel h possible est appelé l'ordre de la base. Le théorème de Waring affirme ainsi par exemple que les puissances k-ièmes sont toujours une base. Le problème que nous aborderons dans cet exposé remonte à une question d'Erdös, Sarkozy et Sos concernant l'existence de bases additives ayant la propriété de Sidon, c'est-à-dire telles que deux sommes a+a' (a, a'dans A) ne coïncident jamais (sauf de facon triviale). Nous démontrerons l'existence d'une base de Sidon d'ordre au plus 7. La question de savoir si cet ordre peut être abaissé (potentiellement jusqu'à 3) reste ouverte.C'est un travail commun avec J.-M. Deshouillers.

- 14h00-14h50, Marc Hindry (Institut de Mathématiques de Jussieu, Université de Paris 7) : Points de torsion sur les variétes abéliennes et groupe de Mumford-Tate

Nous discuterons le problème suivant concernant une variété abélienne A définie sur un corps de nombres K: déterminer la borne inférieure a(A) des exposants x tels que pour toute extension finie L de K le nombre de points de torsion de A(L) soit borné par une constante fois [L:K]^x. David Masser a montré que l'on a toujours a(A)<=\dim A. Nous montrerons que la valeur exacte de a(A) est intimement lié au groupe de Galois associé aux modules de Tate de A. Nous proposerons une formule (conjecturale en général) pour a(A) en terme de la dimension du groupe de Mumford-Tate de A et de ses sous-variétés abéliennes. Nous expliquerons enfin une stratégie et  la preuve de cette conjecture dans quelques cas. Il s'agit d'un travail en commun avec Nicolas Ratazzi (Orsay).

- 15h00-15h50, Emmanuel Royer (Université de Clermont-Ferrand) : Moments des fonctions L : où est l'arithmétique ?

Dans cet exposé, on montrera comment évaluer les deux premiers moments des variables aléatoires  f --> L(1/2, f)L(1, Sym^2 f)^z  pour tout nombre complexe z. Les valeurs 1/2 et 1 représentent respectivement le centre et le bord de la bande critique. On mettra en valeurs ce qui ressort de l'arithmétique et ce qui ressort d'un comportement universel. Il s'agit de travaux en commun avec Jie Wu et Yuk-kam Lau.

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