Grenoble, Lyon et Saint-Etienne (France)

Journée 18

Programme de la Journée 18
  Jeudi 8 octobre 2015

 

Les exposés auront lieu à l'Institut Camille Jordan, en salle Fokko du Cloux

10h-   Café en salle de lecture au premier étage de l'ICJ

10h30-11h20    Vincenzo Mantova, Algebraic equations with sparse polynomials and the Erdős-Rényi conjecture

    In 1949, Rényi and Erdős independently conjectured that given a polynomial g(X) over the complex numbers, if we have a bound on the number of non-zero terms of the square of g(X), then there is a bound on the number of terms of g(X) itself. This was proved and strengthened by Schinzel in 1987, and generalized further by Zannier in 2008. In a joint work with C. Fuchs and U. Zannier, we extend the results to the most general case: if g(X) is the root of a polynomial F(Y) whose coefficients are themselves polynomials in X with a bounded number of terms, then g(X) is at least the ratio of two polynomials with a bounded number of terms. This can be shown to imply the previous statements. The result has several implications such as a version of Bertini's theorem for multiplicative groups, control of certain integral points, and a natural non-standard interpretation.

11h30-12h20   Marie Albenque, Cartes planaires aléatoires et arbres bourgeonnants

   L’étude des cartes planaires et notamment des cartes planaires aléatoires est un sujet très actif depuis une quinzaine d’années. Je présenterai un aperçu des résultats obtenus récemment dans ce domaine, notamment par Le Gall et Miermont, qui ont montré que les quadrangulations aléatoires convergent vers la « carte brownienne ».  J’expliquerai ensuite comment, pour obtenir des résultats similaires mais pour d’autres familles de cartes, on peut utiliser des bijections entre cartes planaires et arbres bourgeonnants. Trouver des bijections entre des familles de cartes et d'arbres bourgeonnants fournit un outil précieux dans l'étude des cartes planaires; cela permet en effet de ramener l'étude de la carte à celle de l'arbre associé, souvent plus simple.  Pour obtenir des résultats de convergence vers la carte brownienne, il faut ensuite comprendre comment les distances entre deux sommets de la carte peuvent être retrouvées à partir de l'arbre bourgeonnant. Cette question fondamentale est encore largement ouverte dans le cas général. J’expliquerai comment elle peut être résolue dans le cas des triangulations simples. Cet exposé se veut accessible à un large public. Il repose notamment sur des travaux communs avec Louigi Addario-Berry et Dominique Poulalho.

12h30-    Repas.

14h10-15h00    Paloma Bengoechea, Nombres mal approchables en Approximation Diophantienne Twistée

    Je parlerai de l'approximation des n-vecteurs réels par l'orbite entière d'un n-vecteur réel x fixé arbitrairerement; c'est à dire, fixé x, je parlerai de l'expression |qx-y-p|, où q et p parcourent les entiers. Ce problème peut être interprété en termes de rotations torales si on identifie le tore avec le cube [0,1)^n et on pense à qx comme étant la position de l'origine après q rotations par x. Je définirai le concepte de vecteur mal approchable dans ce contexte, puis je parlerai du problème de déterminer la "taille" de l'ensemble de ces vecteurs. Le cas n=1 et un cas particulier en dimension supérieure ont été établis en 2010 avec les travaux de Kim d'un côté et Bugeaud-Harrap-Kristensen-Velani de l'autre. Dans un travail récent avec N. Moshchevitin, on établit le cas n>1 dans toute sa généralité. 

15h10-16h00    Charlotte Hardouin, Sur des approches galoisiennes de la transcendance fonctionnelle

 
    Dans la hiérarchie des fonctions spéciales, on distingue  dans la classe des  fonctions transcendantes,  celles qui satisfont une équation différentielle polynomiale. On parle alors de fonctions hyperalgébriques et, lorsque l'équation différentielle est linéaire, de fonctions holonomes. Cette dernière classe possède des qualités algorithmiques et analytiques particulières. Ainsi une question fréquente, par exemple  en combinatoire ou encore en théorie des systèmes intégrables, est de déterminer si une fonction spéciale donnée est holonome. Depuis quelques années, des théories de Galois à paramètres (Cassidy-Singer, H.-Singer et Di Vizio-H.-Wibmer)  ont fourni  un cadre formel et systématique pour attaquer  cette question. Nous essaierons dans cet exposé d'introduire ces théories dans les  grandes lignes. Nous conclurons en  montrant comment ces théories  permettent de déterminer non seulement l'existence mais aussi la forme des relations différentielles polynomiales satisfaites  par les séries génératrices de suites p-automatiques de rang 2.
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